Algorithsm for Embedding 6-Planar Graphs in Triangular grids

그래프 임베딩이란 주어진 그래프 G의 정점과 에지를 목적에 맞는 다른 그래프 H의 정점과 경로로 일대일 대응시키는 것이다. 그리드 임베딩은 주어진 그래프 G를 그리드 그래프 상으로 대응시키는 것으로서 G의 정점은 그리드의 정점으로 에지는 그리드 상의 경로로 대응된다. 그리드 임베딩은 VLSI 회로 설계에 주로 이용되며 그 특성상 면적, 굴곡부의 갯수, 최장 에지의 길이, 에지의 교차수 등을 줄이는 제약 조건을 갖게 되는데, 이러한 조건에 부합하면서 판독성이 우수한 그래프를 드로잉하는 것이 그리드 임베딩의 목적이다. 본 논문에서는 차수가 6이하인 평면 그래프를 가시적 표현법(visibility representation)을 이용하여 삼각 그리드에 임베딩하는 방법에 대해 연구한다. 회로 설계와 판독성을 높이기 위해 본 논문에서 사용하는 제약 조건은 굴곡부와 면적으로서 이는 서로 상반성이 있는 조건이다. 본 연구에서는 면적을 고려한 임베딩 알고리즘과 굴곡부를 고려한 임베딩 알고리즘을 각각 제안한다. 굴곡부를 고려한 알고리즘은 본 논문에서 제안한 굴곡부 제거 변환 규칙을 적용하여 임베딩 후의 굴곡부의 갯수가 4n＋8이하 임을 보장하며, 면적을 고려한 알고리즘은 임베딩 후의 면적이 (3n-5)*(2n-2)이하 임을 보장한다. 단, n은 주어진 그래프 G의 정점의 갯수이다. 두 알고리즘 모두 수행시간이 O(n)이다.;The graph embedding is one-to-one mapping from the source graph G to the target graph H for its objectives. The grid embedding for a graph G maps vertices to distinct grid points and edges to nonintersecting grid paths. Some constraints of grid embedding applying to VLSI circuit design are minimizing the area, the longest edge length and the number of bends. So, the goal of this kind of a grid embedding is the drawing a graph in 2-dimensional plane with satisfying these constraints and high readability. In this thesis, the methods for embedding 6-planar graphs in triangular grids using the visibility representations are studied. Because there is a trade-off between minimizing the number of bends and minimizing the total areas, this thesis presents two algorithms for reducing the number of bends and the areas, respectively. The first algorithm reduces the number of bends by applying a sequence of bend-stretching transformations and then the embedding graph has at most 4n+8 bends, where n is the number of vertices of a graph G. Also, the result of the second algorithm has at most (3n-5)*(2n-2) areas. These algorithms run in linear time.목차 = ⅲ 그림목차 = ⅳ 표목차 = ⅵ 논문개요 = ⅶ Ⅰ. 서론 = 1 1.1 연구배경 및 연구 목적 = 1 1.2 기존 연구 결과 = 5 Ⅱ. 용어 정의 = 8 Ⅲ. 굴곡부를 고려한 삼각 그리드 임베딩 = 13 3.1 문제정의 = 13 3.2 굴곡부 제거 변환 = 14 3.3 알고리즘 = 20 3.4 알고리즘 분석 및 결과 = 27 3.5 구현 결과 = 34 Ⅳ. 면적을 고려한 삼각 그리드 임베딩 = 36 4.1 문제정의 = 36 4.2 알고리즘 = 37 4.3 알고리즘 분석 및 결과 = 43 4.4 구현 결과 = 45 Ⅴ. 결론 및 연구과제 = 47 참고문헌 = 48 ABSTRACT = 5

중학교 수학 교과서의 기하영역 분석

학위논문 (석사)-- 서울대학교 대학원 : 수학교육과, 2014. 2. 권오남.중학교 기하영역은 추론과 정당화를 발달시키는 데 필요한 영역이며, 기하영역에서의 학습은 도형을 탐구하여 기하학적 성질을 이해하고 이를 통해 추론능력을 신장시키는 것을 목표로 한다. 그러나 학생들은 기하학습을 하는 데 있어 증명에 대한 어려움을 느끼고 추론을 의미 있게 경험하지 못한다. 이에 2009 개정 교육과정에서의 기하영역은 기하학적 성질의 이해를 위해 형식적 체계를 강조하는 증명보다는 학생의 경험적 지식에 바탕을 둔 정당화를 강조하고 있다. 이는 어떤 수학적 사실이 옳다는 것을 학생이 이미 알고 있는 수학적 사실을 바탕으로 모순 없이 설명하도록 하는 활동을 중요하게 다룸으로써 엄밀한 증명 대신 학생의 직접적인 활동을 통한 추측활동을 강조하고, 학생들에게 추론 기회를 폭넓게 제공하고자 함을 알 수 있다. 그러나 이와 같이 교육과정에서 형식적 증명을 약화하고 정당화를 강조하는 것에 대해 구체적인 방안이 마련되지 않아 공청회 등에서 많은 논쟁을 야기하였다. 또한 기하영역에서 증명 대신 정당화를 실질적으로 도입하는 것이 초유의 일이라 할 수 있는 만큼 정당화의 의미에 대한 논의가 필요하다는 연구가 있어 왔다. 따라서 이러한 맥락에서 교과서에 구현된 추론과 정당화의 의미를 논의하기 위해 이 연구는 추론과 정당화의 관점에서 교과서가 어떻게 구현되었는지 분석하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 2009 개정 교육과정에 의해 개발된 13종의 중학교 2학년 수학 교과서를 분석대상으로 하며, 특히 2학년 교과서의 기하 단원인 삼각형의 성질과 사각형의 성질에 초점을 맞춰 교과서 도입에 제시된 탐구활동, 추론과 정당화가 나타난 내용 설명, 문제를 분석하였다. 이를 위해 기하학적 개념, 사실 알기, 기하학적 성질 적용하기, 기하학적 성질 추론하기로 구성된 수행에 대한 기대 측면에서의 분석틀과 경험적⋅귀납적 정당화, 예에 의한 정당화, 준연역적 정당화, 형식적⋅연역적 정당화로 구성된 정당화의 유형 측면에서의 분석틀을 마련하여 교과서 분석을 실시하였다. 교과서 분석 결과를 살펴보면, 첫째, 탐구활동의 질문과 문제에서 요구하는 수행에 대한 기대는 기하학적 성질 추론하기의 비율이 기하학적 개념, 사실 알기와 기하학적 성질 적용하기의 비율보다 낮게 나타났다. 따라서 탐구활동의 질문과 문제를 구성함에 있어 단순히 기하학적 성질을 알고 적용하는 것보다 기하학적 성질 추론하기를 의미 있게 경험할 수 있도록 이에 대한 고려가 필요하다. 둘째, 탐구활동과 내용 설명에서 사용된 정당화의 유형을 분석한 결과 경험적⋅귀납적 정당화에서 형식적⋅연역적 정당화로 바로 유도되는 경우가 많았다. 예에 의한 정당화와 준연역적 정당화는 경험적⋅귀납적 정당화와 형식적⋅연역적 정당화를 매개하기 위한 목적으로 제시되어 있었지만 이를 활용한 비율은 높지 않았다. 또한 정당화하기 문제들은 대부분 형식적⋅연역적 정당화를 요구하는 문제로 분석되었다. 따라서 경험적⋅귀납적 정당화에서 형식적⋅연역적 정당화를 매개할 수 있는 다양한 유형의 정당화를 활용할 필요가 있으며, 학생들의 수준에 맞게 다양한 정당화의 유형을 경험할 수 있도록 이를 고려할 필요가 있다. 이 연구는 중학교 수학 교과서의 기하영역이 추론과 정당화의 관점에서 어떻게 구현되었는지 분석하였다. 이를 통해 2009 개정 교육과정에 따라 개발된 13종의 교과서의 기하영역에 대한 추론과 정당화의 측면에서의 전체적인 특징과 함께 교과서에 잘 구현된 점을 살펴봄에 따라 교과서를 개발하는 개발자들과 실제 교과서를 활용해 수업을 할 때 교사들이 고려해야 할 사항에 대한 시사점을 제공할 수 있을 것이다.국문 초록 i 목차 iii 표 목차 v 그림 목차 vii I. 서론 1 1. 연구의 목적 및 필요성 1 2. 연구문제 4 3. 용어의 정의 6 3.1. 탐구활동 6 II. 문헌검토 7 1. 중학교 기하영역에서의 추론과 정당화 7 1.1. 추론과 증명 7 1.2. 정당화 14 1.3. 추론과 정당화의 교수 ․ 학습방법 관련 선행연구 22 2. 교과서 분석 관련 선행 연구 24 2.1. 중학교 기하영역의 교과서 분석 선행 연구 25 2.2. 추론과 증명에 따른 교과서 분석 선행 연구 28 2.3. 수행에 대한 기대에 따른 교과서 분석 연구 35 III. 연구방법 40 1. 교과서 분석대상 40 2. 교과서 분석틀 42 3. 교과서 분석단위 및 분석방법 45 IV. 연구 결과 47 1. 삼각형의 성질 47 1.1. 수행에 대한 기대의 측면에서 교과서 분석결과 48 1.2. 정당화의 유형에 대한 분석결과 70 2. 사각형의 성질 86 2.1. 수행에 대한 기대 측면에서의 교과서 분석결과 87 2.2. 정당화의 유형에 따른 교과서 분석결과 104 V. 결론 125 1. 요약 및 결론 125 2. 논의 및 제언 130 참고문헌 133 Abstract 141Maste