Q2Q_2-free families in the Boolean lattice

For a family $\mathcal{F}$ of subsets of [n]=\{1, 2, ..., n} ordered by inclusion, and a partially ordered set P, we say that $\mathcal{F}$ is P-free if it does not contain a subposet isomorphic to P. Let $ex(n, P)$ be the largest size of a P-free family of subsets of [n]. Let $Q_2$ be the poset with distinct elements a, b, c, d, a<b, c<d; i.e., the 2-dimensional Boolean lattice. We show that $2N -o(N) \leq ex(n, Q_2)\leq 2.283261N +o(N),$ where $N = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$. We also prove that the largest $Q_2$-free family of subsets of [n] having at most three different sizes has at most 2.20711N members.Comment: 18 pages, 2 figure

On scrimshaw precursors: a 13th-century carved and engraved sperm whale tooth

In der einschlägigen Forschung zur Walfängervolkskunst des "Scrimshaw" - den seit den 1820er Jahren populär gewordenen Seemannsarbeiten speziell auf und aus Pottwal- und Walroßzahn, Barten und Walknochen - werden künstlerisch bearbeitete Gegenstände anderer Kulturen aus denselben Materialien als "Scrimshaw"-Vorläufer bezeichnet. Aus dem europäischen Mittelalter sind zwar zahlreiche Beispiele von Schnitzereien aus Walroßzahn und Walknochen bekannt, nicht jedoch aus Pottwalzahn, dem beinah stereotypen Werkstoff der "Scrimshander" des 19. und 20. Jahrhunderts. Der "Königsspiegel", ein um 1250/60 in Norwegen geschriebener pädagogischer Text, erwähnt gleichwohl Schnitzereien aus Pottwalzahn. Auch aus dem 16. und 17. Jahrhundert sind textliche Hinweise auf skandinavisches Kunstgewerbe aus den Zähnen dieses Meeressäugers bekannt. Im Anschluß an die Präsentation dieser Quellen wird ein konkretes Beispiel vorgestellt: Es handelt sich um ein beschnitztes und graviertes Salbenhorn aus Pottwalzahn, das sich in der Sammlung christlicher Kunst und Kultur des Museums der Universität Bergen, Norwegen, lnv. MA 437, befindet. Aus dem massiven Dentin wurde ein Greif herausgeschnitzt, der Ausguß wurde wie der Kopf eines gotischen Wasserspeiers gestaltet. Auf einer glatten Seitenfläche wurde später ein kleines Tondo mit Pflanzen- und Vogelmotiv eingraviert. Es trägt eine Inschrift, die vom Bergenser Museum als griechisch, hier aber als russisch identifiziert wurde, deren Sinn aber unklar bleibt. Anlass, die vom Museum vorgenommene Datierung des Zahns in das 13. Jahrhundert zu revidieren, besteht allerdings nicht

On spectral minimal partitions: the case of the sphere

We consider spectral minimal partitions. Continuing work of the the present authors about problems for planar domains, [23], we focus on the sphere and obtain a sharp result for 3-partitions which is related to questions from harmonic analysis, in particular to a conjecture of Bishop