On the reconstruction of planar lattice-convex sets from the covariogram

A finite subset $K$ of $\mathbb{Z}^d$ is said to be lattice-convex if $K$ is the intersection of $\mathbb{Z}^d$ with a convex set. The covariogram $g_K$ of $K\subseteq \mathbb{Z}^d$ is the function associating to each u \in \integer^d the cardinality of $K\cap (K+u)$. Daurat, G\'erard, and Nivat and independently Gardner, Gronchi, and Zong raised the problem on the reconstruction of lattice-convex sets $K$ from $g_K$. We provide a partial positive answer to this problem by showing that for $d=2$ and under mild extra assumptions, $g_K$ determines $K$ up to translations and reflections. As a complement to the theorem on reconstruction we also extend the known counterexamples (i.e., planar lattice-convex sets which are not reconstructible, up to translations and reflections) to an infinite family of counterexamples.Comment: accepted in Discrete and Computational Geometr

Diskrete Tomographie auf Moduln: Dekomposition, Separation und Eindeutigkeit

We study three basic questions of discrete tomography on modules: First, we characterize under which conditions the complete tomographic grid decomposes into finitely many translates of the underlying module. Second, we deal with a geometric separation problem that arises naturally in reconstructing quasicrystalline point sets from X-ray data. We show how to solve the separation problem algorithmically in a semialgebraic setting. Finally, we study the problem of finding the minimal number of points in a tomographic grid that have to be prescribed as (non-)positions so as to guarantee a unique reconstruction of a given sample from the X-ray data. We prove the NP-hardness of this problem and derive related uniqueness results for polytopes.Die Arbeit untersucht drei grundlegende Fragen der Diskreten Tomographie auf Moduln. Im ersten Teil wird charakterisiert, unter welchen Bedingungen das vollständige tomographische Grid in endlich viele Translate des zu Grunde liegenden Moduls zerfällt. Im zweiten Teil wird ein geometrisches Separationsproblem studiert, das in natürlicher Weise bei der Rekonstruktion quasikristalliner Punktmengen aus X-Ray-Daten auftritt. Wir zeigen, wie sich das Separationsproblem in einem semialgebraischen Kontext algorithmisch effizient lösen lässt. Im dritten Teil untersuchen wir das Problem, eine minimale Anzahl an Gridpunkten zu finden, sodass die Fixierung dieser Punkte als (Nicht-)Positionen die eindeutige Rekonstruktion eines gegebenen Musters aus den X-Ray-Daten garantiert. Wir beweisen die NP-Schwere dieses Problems und leiten verwandte Eindeutigkeitsresultate für Polytope ab

Diskrete Tomographie auf Moduln: Dekomposition, Separation und Eindeutigkeit

We study three basic questions of discrete tomography on modules: First, we characterize under which conditions the complete tomographic grid decomposes into finitely many translates of the underlying module. Second, we deal with a geometric separation problem that arises naturally in reconstructing quasicrystalline point sets from X-ray data. We show how to solve the separation problem algorithmically in a semialgebraic setting. Finally, we study the problem of finding the minimal number of points in a tomographic grid that have to be prescribed as (non-)positions so as to guarantee a unique reconstruction of a given sample from the X-ray data. We prove the NP-hardness of this problem and derive related uniqueness results for polytopes.Die Arbeit untersucht drei grundlegende Fragen der Diskreten Tomographie auf Moduln. Im ersten Teil wird charakterisiert, unter welchen Bedingungen das vollständige tomographische Grid in endlich viele Translate des zu Grunde liegenden Moduls zerfällt. Im zweiten Teil wird ein geometrisches Separationsproblem studiert, das in natürlicher Weise bei der Rekonstruktion quasikristalliner Punktmengen aus X-Ray-Daten auftritt. Wir zeigen, wie sich das Separationsproblem in einem semialgebraischen Kontext algorithmisch effizient lösen lässt. Im dritten Teil untersuchen wir das Problem, eine minimale Anzahl an Gridpunkten zu finden, sodass die Fixierung dieser Punkte als (Nicht-)Positionen die eindeutige Rekonstruktion eines gegebenen Musters aus den X-Ray-Daten garantiert. Wir beweisen die NP-Schwere dieses Problems und leiten verwandte Eindeutigkeitsresultate für Polytope ab

On the index of Siegel grids and its application to the tomography of quasicrystals

AbstractWe give a characterization of when the index of Siegel grids is finite. As a main application, we solve a basic decomposition problem for the discrete tomography of quasicrystals that live on finitely generated Z-modules in some Rs

On Polyatomic Tomography over Abelian Groups: Some Remarks on Consistency, Tree Packings and Complexity

AbstractThe paper deals with an inverse problem of reconstructing matrices from their marginal sums. More precisely, we are interested in the existence of $$r\times s$$ r × s matrices for which only the following information is available: The entries belong to known subsets of c distinguishable abelian groups, and the row and column sums of all entries from each group are given. This generalizes Ryser’s classical problem of characterizing the set of all 0–1-matrices with given row and column sums and is a basic problem in (polyatomic) discrete tomography. We show that the problem is closely related to packings of trees in bipartite graphs, prove consistency results, give algorithms and determine its complexity. In particular, we find a somewhat unusual complexity behavior: the problem is hard for “small” but easy for “large” matrices.</jats:p

MathematikerInnen und PhysikerInnen an Hochschulen: Repairing or Redesigning the Leaky Pipeline?

Langfeld B, Mischau A. MathematikerInnen und PhysikerInnen an Hochschulen: Repairing or Redesigning the Leaky Pipeline? In: Hey B, Kink S, Paulitz T, Prietl B, eds. Akademische Wissenskulturen und soziale Praxis. Geschlechterforschung zu natur-, technik- und geisteswissenschaftlichen Fächern im Vergleich. Sektionsreihe Forum Frauen- und Geschlechterforschung. Vol 42. Münster: Westfälisches Dampfboot; 2015: 37-59