quelques resultats d unicite pour l equation du mouvement par courbure moyenne dans rn

Recemment, Ecker et Huisken ont demontre que l'equation du mouvement par courbure moyenne des graphes dans R N admet au moins une solution reguliere pour toute donnee initiale localement lipschitzienne dans R N sans imposer aucune condition sur son comportement a l'infini. Le but de cet article est de decrire quelques resultats d'unicite pour ces solutions. La difficulte pour obtenir une telle unicite provient de l'absence de restriction sur la croissance et, plus generalement, sur le comportement des solutions a l'infini

Semi-groupes monotones non-linéaires, équations géométriques et solutions de viscosité des équations quasilinéaires paraboliques

In the first part of this thesis we show that any monotone semi-group defined on continuous functions and satisfying suitable assumptions of regularity and locality is a semi-group associated to a second order parabolic pde. In a second part, we study uniqueness and existence properties of the solutions of the mean curvature equation for graphs and also for sme related class àf quasilinear parabolic equations. In a first article, we use the "level set approach" which provides a L[infini] local bound and a formulation of the uniqueness problem in term of fattening of the 0-level set of an auxiliary function. The major application of the method is a complete result of existence and uniqueness for a class of quasilinear equations whithout restriction on the behavior at infinity when the initial graphs is convex. In a second article, we prove the uniqueness result for the mean curvature flow of graphs in the one dimensional case without growth condition at infinity for the solution or the initial graph. Finally, in the third paper, we prove a comparison result in dimension N in the class of functions with polynomial growth. This result is obtained under growth conditions of polynomial type on the grandients of the initial data.Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que tout semi-groupe défini sur un espace de fonctions continues sur IRn est , sous des hymothèses de régularité et de localité, un semi-groupe associé à une équation aux dérivées partielles du second ordre parabolique (dégénérée). Dans la deuxième partie, nous étudions les propriétés d'existence et d'unicité pour les solutions de l'équation d'évolution des graphes par courbure moyenne ainsi que d'équations quasilinéaires plus générale. Dans un premier article, nous utilisons l'approche par ensembles de niveau pour obtenir des bornes L[infini] locales et des conditions d'unicité pour les solutions d'équations quasilinéaires. L'application majeure de cette méthode étant un résultat complet d'existence et d'unicité sans condition de croissance à l'infini dans le cas où la donnée initiale est convexe. Dans un second article, nous montrons, dans le cas particulier de la dimension un, le résultat d'unicité sans restriction sur le comportement à l'infini de la donnée initiale ni sur les solutions. Enfin, dans un troisième article, nous prouvons un résultat de comparaison dans la classe des fonctions à croisssance polynômiale. Celui-ci est obtenu sous condition de croissance de type polynômial sur les grandiants de la données initiale et pour une large classe d'équations quasilinéaires incluant celle d'évolution des graphes par courbure moyenne indépendemment de la dimension.TOURS-BU Sciences Pharmacie (372612104) / SudocTOURS-Bib. Maths Physique Theor. (372612214) / SudocSudocFranceF

Quelques résultats d'unicité pour l'équation du mouvement par courbure moyenne dans R

Récemment, Ecker et Huisken ont démontré que l'équation du mouvement par courbure moyenne des graphes dans RN admet au moins une solution régulière pour toute donnée initiale localement lipschitzienne dans RN sans imposer aucune condition sur son comportement à l'infini. Le but de cet article est de décrire quelques résultats d'unicité pour ces solutions. La difficulté pour obtenir une telle unicité provient de l'absence de restriction sur la croissance et, plus généralement, sur le comportement des solutions à l'infini

Uniqueness for parabolic equations without growth condition and applications to the mean curvature flow in R2

AbstractIn this article, we prove a comparison result for viscosity solutions of a certain class of fully nonlinear, possibly degenerate, parabolic equations; the main new feature of this result is that it holds for any, possibly discontinuous, solutions without imposing any restrictions on their growth at infinity. The main application of this result which was also our main motivation to prove it, is the uniqueness of solutions to one-dimensional equations including the mean curvature equation for graphs without assuming any restriction on their behavior at infinity

Nonfattening condition for the generalized evolution by mean curvature and applications.

International audienc

Quasilinear Parabolic Equations, Unbounded Solutions and Geometrical Equations II. Uniqueness without . . .

In this article, we prove a comparison result for viscosity solutions of a certain class of fully nonlinear, possibly degenerate, parabolic equations; the main new feature of this result is that it holds for any, possibly discontinuous, solutions without imposing any restrictions on their growth at infinity. The main application of this result which was also our main motivation to prove it, is the uniqueness of solutions to one-dimensional equations including the mean curvature equation for graphs without assuming any restriction on their behavior at infinity

Quasilinear Parabolic Equations, Unbounded Solutions and Geometrical equations I. A geometrical approach to the study of quasilinear parabolic equations in R^N

In this article, we are interested in the existence and uniqueness of solutions for . We consider in particular cases when there is no restriction on the growth or the behaviour of these solutions at in nity. Our model equation is the mean curvature equation for graphs for which Ecker and Huisken have shown the existence of smooth solutions for any locally Lipschitz continuous initial data. We use a geometrical approach which consists in seeing the evolution of the graph of a solution as a geometric motion which is then studied by the so-called \level-set approach." After determining the right class of quasilinear parabolic pdes which can be taken into account by this approach, we show how the uniqueness for the original pde is related to \fattening phenomena" in the level-set approach. Existence of solutions is proved using a local L -bound obtained by using in an essential way the level-set approach. Finally we apply these results to convex initial datas and prove existence and comparison results in full generality, i.e. without restriction on their growth at in nity

Quasilinear Parabolic Equations, Unbounded Solutions and Geometrical Equations III. Uniqueness through classical viscosity solutions' methods

In this article, we are interested in uniqueness results for viscosity solutions of a general class of quasilinear, possibly degenerate, parabolic equations set in IR . Using classical viscosity solutions' methods, we obtain a general comparison result for solutions with polynomial growths but with a restriction on the growth of the initial data. The main application is the uniqueness of solutions for the mean curvature equation for graphs which was only known in the class of uniformly continuous functions. An application to the mean curvature ow is given