Computing maximal copies of polytopes contained in a polytope

Kepler (1619) and Croft (1980) have considered largest homothetic copies of one regular polytope contained in another regular polytope. For arbitrary pairs of polytopes we propose to model this as a quadratically constrained optimization problem. These problems can then be solved numerically; in case the optimal solutions are algebraic, exact optima can be recovered by solving systems of equations to very high precision and then using integer relation algorithms. Based on this approach, we complete Croft's solution to the problem concerning maximal inclusions of regular three-dimensional polyhedra by describing inclusions for the six remaining cases.Comment: 13 pages, 7 figure

Real Equivariant Bordism for elementary abelian 2-groups

We give a description of real equivariant bordism for elementary abelian 2-groups, which is similar to the description of complex equivariant bordism for the group S^1 x ... x S^1 given by Hanke in 2005.Comment: 21 page

Humanity's Last Exam

Benchmarks are important tools for tracking the rapid advancements in large language model (LLM) capabilities. However, benchmarks are not keeping pace in difficulty: LLMs now achieve over 90\% accuracy on popular benchmarks like MMLU, limiting informed measurement of state-of-the-art LLM capabilities. In response, we introduce Humanity's Last Exam (HLE), a multi-modal benchmark at the frontier of human knowledge, designed to be the final closed-ended academic benchmark of its kind with broad subject coverage. HLE consists of 3,000 questions across dozens of subjects, including mathematics, humanities, and the natural sciences. HLE is developed globally by subject-matter experts and consists of multiple-choice and short-answer questions suitable for automated grading. Each question has a known solution that is unambiguous and easily verifiable, but cannot be quickly answered via internet retrieval. State-of-the-art LLMs demonstrate low accuracy and calibration on HLE, highlighting a significant gap between current LLM capabilities and the expert human frontier on closed-ended academic questions. To inform research and policymaking upon a clear understanding of model capabilities, we publicly release HLE at https://lastexam.ai

Humanity's Last Exam

Benchmarks are important tools for tracking the rapid advancements in large language model (LLM) capabilities. However, benchmarks are not keeping pace in difficulty: LLMs now achieve over 90\% accuracy on popular benchmarks like MMLU, limiting informed measurement of state-of-the-art LLM capabilities. In response, we introduce Humanity's Last Exam (HLE), a multi-modal benchmark at the frontier of human knowledge, designed to be the final closed-ended academic benchmark of its kind with broad subject coverage. HLE consists of 3,000 questions across dozens of subjects, including mathematics, humanities, and the natural sciences. HLE is developed globally by subject-matter experts and consists of multiple-choice and short-answer questions suitable for automated grading. Each question has a known solution that is unambiguous and easily verifiable, but cannot be quickly answered via internet retrieval. State-of-the-art LLMs demonstrate low accuracy and calibration on HLE, highlighting a significant gap between current LLM capabilities and the expert human frontier on closed-ended academic questions. To inform research and policymaking upon a clear understanding of model capabilities, we publicly release HLE at https://lastexam.ai

Optimierungsmethoden in der Diskreten Geometrie

Acknowledgements 7 Contents 8 Summary 11 1 Realization of simplicial spheres and oriented matroids 13 2 Polytopal inclusions 33 3 Miscellaneous Results 45 Appendix: A Simplicial neighborly polytopes and self-dual 2-colored necklaces 65 B A configuration of 6 kissing cylinders 67 C Triangulations of the triangle 69 List of Figures 74 Bibliography 75 Zusammenfassung 85 Erklärung 87In this thesis we study some problems from discrete geometry and develop new methods for solving them. Many such problems can be formulated as optimization problems over spaces defined by systems of polynomial inequalities. Our method consists of two steps, which can be summarized as follows: Model a problem from discrete geometry as a system of polynomial inequalities and solve it numerically. From the numerical solution, derive an exact solution, which may provide additional structural information. For any specific problem, each of these two steps needs to be adapted. We illustrate this approach in different applications ranging from the classification of polytopes to packing problems.In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Probleme der diskreten Geometrie untersucht und Methoden entwickelt um diese zu lösen. Die Methoden machen sich nutze, dass sich viele Probleme der diskreten Geometrie als Optimierungsproblem über einem polynomiellen Ungleichungssystem darstellen lassen. In einigen Fällen gelingt es, eine numerische Lösung eines solchen Systems zu bestimmen und dann in eine exakte Lösung zu überführen, die wiederum etwas über das betrachtete Problem aussagt. Wir geben einige Beispiele von solchen Anwendungen. Die Frage welche simplizialen Sphären als Polytop realisiert werden können wird im ersten Kapitel behandelt. Hierbei entwickeln wir eine Möglichkeit für eine gegebene simpliziale Sphäre eine Realisierung zu finden, falls diese existiert. Außerdem werden die bekannten Beweismethoden für die Nichtrealisierbarkeit derartig verbessert, dass sie effizient auf große Familien von simplizialen Sphären und uniformen orientierten Matroiden angewandt werden können. Die Realisierungsmethode besteht darin, ein nicht-lineares Gleichungssystem, welches die Realisierbarkeit der simplizialen Sphäre beschreibt, in einem ersten Schritt numerisch zu lösen und diese numerische Lösung in einem zweiten Schritt in rationale Koordinaten umzuwandeln, für die man dann beweisen kann, dass es sich tatsächlich um eine Realisierung der simplizialen Sphäre handelt. Mit diesen Methoden gelingt die vollständige Klassifizierung der kombinatorischen Typen von simplizialen 4-Polytopen mit 10 Ecken: es gibt genau 162004. Für simpliziale 4-Polytope mit 9 Ecken wurde deren Anzahl, nämlich 1142, von Altshuler, Bokowski und Steinberg bereits 1980 bestimmt. Außerdem erhalten wir die vollständige Klassifizierung von simplizialen nachbarschaftlichen Polytope mit 10 Ecken in Dimension 5 und mit 11 Ecken in den Dimensionen 4, 6 und 7. Wir behandeln in diesem Kapitel nicht nur die Polytopalität von simplizialen Sphären, sondern beschäftigen uns auch mit der Einschreibbarkeit derselben, das heißt wir suchen Realisierungen, so dass alle Koordinaten auf der Einheitssphäre liegen. Hierzu wird zu unserer Überraschung festgestellt, dass alle untersuchten 2-nachbarschaftlichen simplizialen Polytope einschreibbar sind. Das zweite Kapitel behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Packungen. Seien zwei Polytope P und Q gegeben. Wir suchen ein Polytop P' von maximalem Volumen, so dass P' ähnlich zu P ist und außerdem P' in Q enthalten ist. Diese Frage wurde bereits verschiedentlich untersucht, insbesondere in der Dimension 2, wo P und Q also Polygone sind. In Dimension 3 hat Croft 1980 alle 20 Paare von 5 platonischen Körpern untersucht und konnte für 14 die optimalen Inklusionen ermitteln. Wir beschäftigen uns mit den verbleibenden 6 Fällen und wenden unsere Methoden darauf an. Zwar erhalten wir hier zunächst nur numerische Ergebnisse, können daraus jedoch Inklusionen bestimmen, deren Koordinaten algebraische Zahlen sind. Im dritten Kapitel werden zwei weitere Probleme untersucht: Zylinderpackungen an der Sphäre und das Zeichnen von planaren Graphen mit vorgeschriebenen Flächeninhalten