On Leibniz algebras, whose subideals are ideals

We obtain a description of solvable Leibniz algebras, whose subideals are ideals. A description of certain types of Leibniz T-algebras is also obtained. In particular, it is established that the structure of Leibniz T-algebras essentially depends on the structure of its nil-radical.Отримано опис розв'язних алгебр Лейбніца, всі підідеали яких є ідеалами. Наведено теореми, що дають опис деяких типів T-алгебр Лейбніца. Зокрема, структура T-алгебр Лейбніца істотно залежить від структури її ніль-радикала.Получено описание разрешимых алгебр Лейбница, все подидеалы которых являются идеалами. Приведены теоремы, которые дают описание некоторых типов T-алгебр Лейбница. В частности, структура T-алгебр Лейбница существенно зависит от структуры ее ниль-радикала

On analogs of some group-theoretic concepts and results for Leibniz algebras

An algebra L over a field F is said to be a Leibniz algebra (more precisely a left Leibniz algebra) if it satisfies the Leibniz identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] for all a, b, c ∈ L. Leibniz algebras are generalizations of Lie algebras. We consider some classes of generalized nilpotent Leibniz algebras (hypercentral, locally nilpotent algebras, and algebras with the idealizer condition) and show their some basic properties.Aлгебра L над полем F називається алгеброю Лейбніца (точніше лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона задовольняє таку тотожність Лейбніца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] для всіх a, b, c ∈ L. Алгебри Лейбніца являють собою узагальнення алгебр Лі. В роботі розглянуто деякі класи узагальнено нільпотентних алгебр Лейбніца (гіперцентральні, локально нільпотентні алгебри та алгебри з ідеалізаторною умовою) тa показано деякі їх базові властивості.Aлгебра L над полем F называется алгеброй Лейбница (точнее левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет следующему тождеству Лейбница: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b [a, c]] для всех a, b, c ∈ L. Алгебры Лейбница представляют собой обобщение алгебр Ли. В работе рассмотрены некоторые классы обобщенно нильпотентных алгебр Лейбница (гиперцентральные, локально нильпотентные алгебры и алгебры с идеализаторным условием) и показаны некоторые их базовые свойства

On ideals and contraideals in Leibniz algebras

A subalgebra S of a Leibniz algebra L is called a contraideal, if an ideal, generated by S coincides with L. We study the Leibniz algebras, whose subalgebras are either an ideal or a contraideal. Let L be an algebra over a field F with the binary operations + and [ , ]. Then L is called a Leibniz algebra (more precisely, a left Leibniz algebra), if it satisfies the following identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] – [b, [a, c]] for all a, b, c ∈ L. We will also use another form of this identity: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Leibniz algebras are generalizations of Lie algebras. As usual, a subspace A of a Leibniz algebra L is called a subalgebra, if [x,y] ∈ A for all elements x, y ∈ A. A subalgebra A is called a left (respectively right) ideal of L, if [y,x] ∈ A (respectively, [x,y] ∈ A) for every x ∈ A, y ∈ L. In other words, if A is a left (respectively, right) ideal, then [L, A] ≤ A (respectively, [A, L] ≤ A). A subalgebra A of L is called an ideal of L (more precisely, a twosided ideal), if it is both a left ideal and a right ideal, that is, [y, x], [x, y] ∈ A for every x ∈ A, y∈ L. A subalgebra A of L is called an contraideal of L, if Aᶫ = L. The theory of Leibniz algebras has been developed quite intensively, but very uneven. However, there are problems natural for any algebraic structure that were not previously considered for Leibniz algebras. We have received a complete description of the Leibniz algebras, which are not Lie algebras, whose subalgebras are an ideal or a contraideal. We also obtain a description of Lie algebras, whose subalgebras are ideals or contraideals up to simple Lie algebras.Підалгебра S алгебри Лейбніца L називається контраідеалом, якщо ідеал, породжений S, збігається з L. Вивчено алгебри Лейбніца, підалгебри яких є або ідеалом, або контраідеалом. Нехай L алгебра над полем F з бінарними операціями і [ , ]. Тоді L називається алгеброю Лейбніца (точніше, лівою алгеброю Лейбніца), якщо вона задовольняє тотожність [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всіх a, b, c∈L. Також використано іншу форму цієї тотожності: [a, [b, c]] = [[a, b], c] [b, [a, c]]. Алгебри Лейбніца є узагальненням алгебр Лі. Підпростір A алгебри Лейбніца L називається підалгеброю, якщо [x,y] О A для всіх елементів x, y∈A. Підалгебра A називається лівим (відповідно правим) ідеалом L, якщо [y, x]∈A (відповідно [x, y]∈A) для всіх x∈A, y∈L. Іншими словами, якщо A є лівим (відповідно правим) ідеалом, то [L, A] ≤ A) (відповідно [A, L] ∈ A ). Підалгебра A із L називається ідеалом L (точніше, двостороннім ідеалом), якщо вона одночасно є лівим і правим ідеалом так, що [x, y], [y, x]∈A для всіх x∈A, y∈L. Підалгебра A із L називається контраідеалом L, якщо AL = L. Теорія алгебр Лейбніца розвивається досить інтенсивно, проте дуже нерівномірно. Однак існують природні для будь-яких алгебраїчних структур задачі, що раніше не розглядалися для алгебр Лейбніца. Отримано повний опис алгебр Лейбніца, які не є алгебрами Лі, підалгебри яких є ідеалом або контраідеалом. Також отримано опис алгебр Лі, всі підалгебри яких є ідеалами або контраідеалами, з точністю до простих алгебр Лі.Подалгебра S алгебры Лейбница L называется контраидеалом, если идеал, порожденный S, совпадает с L. Изучены алгебры Лейбница, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Пусть L алгебра над полем F з бинарными операциями + і [ , ]. Тогда L называется алгеброй Лейбница (точнее, левой алгеброй Лейбница), если она удовлетворяет тождеству [[a, b], c] = [a, [b, c]] [b, [a, c]] для всех a, b, c∈L. Также использована другая форма этого тождества: [a, [b, c]] = [[a, b], c] + [b, [a, c]]. Алгебры Лейбница являются обобщением алгебры Ли. Подпространство A алгебры Лейбница L называется подалгеброй, если [x,y]∈A для всех элементов x, y∈A. Подалгебра A называется левым (соответственно правым) идеалом L, если [y, x]∈A (соответственно [x, y]∈A) для всех x∈A, y∈L. Другими словами, если A является левым (соответственно правым) идеалом, то [L, A] ∈ A (соответственно [L, A] ≤ A). Подалгебра A с L называется идеалом L (точнее, двусторонним идеалом), если она одновременно является левым и правым идеалом так, что [x, y], [y, x]∈A для всех x∈A, y∈L. Подалгебра A с L называется контраидеалом L, если AL = L. Теория алгебр Лейбница развивается достаточно интенсивно, но очень неравномерно. Тем не менее существуют естественные для любых алгебраических структур задачи, которые раньше не рассматривались для алгебр Лейбница. Получено полное описание алгебр Лейбница, которые не являются алгебрами Ли, подалгебры которых являются либо идеалом, либо контраидеалом. Также получено описание алгебры Ли, все подалгебры которых являются идеалами или контраидеалами, с точностью до простых алгебр Ли

On the nonperiodic groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal

This paper devoted to the nonperiodic locally generalized radical groups, whose subgroups of infinite special rank are transitively normal. We proved that if such a group G includes an ascendant locally nilpotent subgroup of infinite special rank, then G is Abelian.Досліджено неперіодичні локально узагальнені радикальні групи, в яких підгрупи нескінченного спеціального рангу є транзитивно нормальними. Доведено, що якщо така група G містить у собі висхідну локально нільпотентну підгрупу нескінченного спеціального рангу, то G абелева.Исследованы непериодические локально обобщенные радикальные группы, у которых подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны. Доказано, что если в такую группу G входит восходящая локально нильпотентная подгруппа бесконечного специального ранга, то G абелева