Langages reconnaissables de mots indexés par des ordinaux

This thesis treats of recognizable languages of words indexed by ordinals.Several classes of automata recognizing such words have been introduced by Büchi. Those classes differ by the length of words recognized by automata. We use four of them: the class for words of length [$\omega$] ,the one for words of length less than [$\omega^(n+1)$] , where n is an integer, the class for words of denumerable length and the one for words of any length. We also use the usual Kleene automata, on words of finite length. We give another proof of the equivalence of those different definitions of automata: by choosing an automaton in one class, one can construct an automaton of an other class such that the restrictions of languages accepted by both automata to the smallest domain of both classes are identical. We also give an unified presentation for the determinisation of each class of automata whose domain is words of length at most denumerable.Finite semigroups are another formalism equivalent to automata to define sets of finite words. Perrin, Pin and Wilke have introduced algebraic structures adapted to the study of languages of words of length [$\omega$] .These structures are equivalent to automata when they are finite. We generalize the algebraic approach of the theory of recognizable languages of words of length [$\omega$] to words of length less than [$\omega^(n+1)$] , and to words of denumerable length: we define two algebraic structures, called [$\omega^n$] -semigroups and [$\omega_1$] -semigroups, equivalent, when they are finite, to automata respectively on words of length less than [$\omega^(n+1)$] and of denumerable length. As for the case of words of length [$\omega$] , a finite algebra can be canonically associated to any recognizable language. We define the Schützenberger and wreath products on [$\omega_1$] -semigroups. We also extend the Eilenberg theorem of variety to words of denumerable length.Finally, we give another proof of Büchi's theorem which establishes the equivalence between languages recognized by automata and languages defined by sentences of monadic second order logic for words of denumerable length. We extend the Schützenberger's theorem of equivalence between star-free languages and languages recognized by aperiodic finite semigroups to words of length less than [$\omega^(n+1)$] , and McNaughton and Papert's theorem of equivalence between star-free languages and languages defined by sentences of first order logic of the linear ordering to words of any length.Cette thèse traite des langages reconnaissables de mots indexés par des ordinaux.Plusieurs classes d'automates qui reconnaissent de tels mots ont été introduites par Büchi. Elles diffèrent par la longueur des mots reconnus par les automates. Nous en utilisons quatre: la classe pour les mots de longueur [$\omega$] , celle pour les mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , où n est un entier naturel, celle pour les mots de longueur dénombrable, et celle pour les mots de longueur quelconque. Nous y ajoutons la classe des automates de Kleene traditionnelle, sur les mots finis. Nous remontrons que ces différentes définitions d'automates sont équivalentes, c'est-à-dire que données deux de ces classes et un automate d'une des deux, la restriction du langage reconnu par l'automate aux mots du domaine le plus petit des deux classes est la restriction du langage reconnu par un automate de l'autre classe au même domaine. Nous donnons également une présentation unifiée de la déterminisation pour chacune des classes qui reconnaît au plus des mots de longueur dénombrable.Les semigroupes finis sont un formalisme équivalent aux automates pour définir des ensembles de mots finis. Perrin, Pin et Wilke ont introduits des structures algébriques adaptées à l'étude des langages de mots de longueur [$\omega$] , qui, quand elles sont finies, sont équivalentes aux automates. Nous généralisons l'approche algébrique de la théorie des langages reconnaissables de mots de longueur [$\omega$] aux mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , puis aux mots de longueur dénombrable. Pour cela, nous définissons deux structures algébriques, les [$\omega^n$] -semigroupes et les [$\omega_1$] -semigroupes, qui, quand elles sont finies, sont équivalentes respectivement aux automates pour les mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] et aux automates pour les mots de longueur dénombrable. Comme pour le cas des mots de longueur [$\omega$] , une algèbre syntaxique peut être canoniquement associée à chaque langage reconnaissable. Nous définissons le produit de Schützenberger et le produit en couronne sur les [$\omega_1$] -semigroupes. Nous étendons également le théorème des variétés d'Eilenberg aux mots de longueur dénombrable.Finalement, nous remontrons l'équivalence entre langages reconnus par automates et langages définis par énoncés de logique monadique du second ordre quand on s'intéresse aux mots de longueur dénombrable. Le théorème d'équivalence de Schützenberger entre langages sans étoile et semigroupes finis apériodiques est étendu aux mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , et le théorème d'équivalence entre langages sans étoile et langages définis par énoncés de logique du premier ordre de l'ordre linéaire de McNaughton et Papert est étendu aux mots de longueur quelconque

Logic and branching automata

Abstract. The first result presented in this paper is the closure under complementation of the class of languages of finite N-free posets recognized by branching automata. Relying on this, we propose a logic, named Presburger-MSO or P-MSO for short, precisely as expressive as branching automata. The P-MSO theory of the class of all finite N-free posets is decidable

Logic and bounded-width rational languages of posets over countable scattered linear orderings

International audienc

Logic and bounded-width rational languages of posets over countable scattered linear orderings

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Finite automata and ordinals

AbstractSeveral definitions of automata on words indexed by ordinals have been proposed previously. The first one was introduced by Büchi to prove the decidability of the monadic second order theory of denumerable ordinals. Wojciechowski studied the properties of these automata independently of the length of the input. The second definition, proposed by Choueka, works only on words of length less than ωn. In this paper, we restrict the domain of Wojciechowski automata to the domain of Choueka's ones (that is, given n < ω, we keep only α-sequences for α < ωn+1 in the language defined by a Wojciechowski automaton) in order to prove the equivalence between Choueka automata and Wojciechowski automata. Then, we obtain the closure under complementation of the class of Wojciechowski's definable sets, and finally we give an algorithm for determinizing Wojciechowski automata

Star-Free Sets of Words on Ordinals

AbstractLet n be a fixed integer; we extend the theorem of Schützenberger, McNaughton, and Papert on star-free sets of finite words to languages of words of length less than ωn

Logic over Words on Denumerable Ordinals

AbstractThe main result of this paper is the extension of the theorem of Schützenberger, McNaughton, and Papert on star-free sets of finite words to languages of words of countable length. We also give another proof of the theorem of Büchi which establishes the equivalence between automata and monadic second-order sentences for defining sets of words of denumerable length