Spiralling liquid jets: Verifiable mathematical framework, trajectories and peristaltic waves

The dynamics of a jet of an inviscid incompressible liquid spiralling out under the action of centrifugal forces is considered with both gravity and the surface tension taken into account. This problem is of direct relevance to a number of industrial applications, ranging from the spinning disc atomization process to nanofibre formation. The mathematical description of the flow by necessity requires the use of a local curvilinear non-orthogonal coordinate system centred around the jet’s baseline, and we present the general formulation of the problem without assuming that the jet is slender. To circumvent the inconvenience inherent in the non-orthogonality of the local coordinate system, the orthonormal Frenet basis is used in parallel with the local non-orthogonal basis, and the equation of motion, with the velocity considered with respect to the local coordinate system, is projected onto the Frenet basis. The variation of the latter along the baseline is then described by the Frenet equations which naturally brings the baseline’s curvature and torsion into the equations of motion. This technique allows one to handle different line-based non-orthogonal curvilinear coordinate systems in a straightforward and mathematically transparent way. An analysis of the slender-jet approximation that follows the general formulation shows how a set of ordinary differential equations describing the jet’s trajectory can be derived in two cases: $\mathit{We}=O(1)$ and \unicode[STIX]{x1D716}\mathit{We}=O(1) as \unicode[STIX]{x1D716}\rightarrow 0, where \unicode[STIX]{x1D716} is the ratio of characteristic length scales across and along the jet and $\mathit{We}$ is the Weber number. A one-dimensional model for the propagation of nonlinear peristaltic disturbances along the jet is derived in each of these cases. A critical review of the work published on this topic is presented showing where errors typically occur and how to identify and avoid them.</jats:p

ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ТРАССИРОВКИ ПО КОНСТРУКТИВНОМУ КРИТЕРИЮ

The analysis of autorouter efficiency in the known CAD systems under structural and technological constraints is carried out. The revealed significant constraints are related to the thermal strength of the wires and possible mutual influence through the electromagnetic field. When manually designing the designer guided by his own experience, can ignore these and other constraints. Unlike a person, the autorouter strictly fulfills all the specified constraints, which, given the topology of the printed circuit board, does not allow tracing to complete. On the other hand, giving greater freedom to the autorouter often makes it impossible to meet the production requirements on permissible parameters of the topological pat-tern, which is the width of the conductors and the gaps between them. The problem of tracing printed circuit boards, including multilayer ones, has become much more complicated with the introduction of integrated circuits in TSOP, MOFP and BGA type enclosures packages with fine-pitch pins, a number of which can reach several hundred. The article investigates the possibility of maximizing printed circuit board topological space with these and other types of enclosures. The necessity of introducing a buffer zone around the component to improve the routing efficiency is explained. It is shown, however, that the avail-ability of a buffer zone does not eliminate the appearance of vias in it, the number of which depends on the routing type. On the basis of the proposed criterion for the autorouter performance, i.e. the ratio of the total wire length to the number of vias, the efficiency of using the topological space of a printed circuit board by three autorouters is analyzed.The presented experimental results of competing routing systems TopoR and Specctra confirmed the possibility to enlarge the pattern area of the printed circuit board for its further use.Проведен анализ эффективности автотрассировщиков известных систем автоматизированного проектирования (САПР) топологии печатных плат (ПП) в условиях наложенных конструктивнотехнологических ограничений. Выявленные существенные ограничения связаны с тепловой прочностью проводников и возможными взаимными влияниями через электромагнитное поле. При ручном проектировании конструктор, руководствуясь собственным опытом, может проигнорировать эти и другие ограничения. В отличие от человека, автотрассировщик строго выполняет все заданные ограничения, что при заданном топологическом пространстве ПП не позволяет выполнить трассировку полностью. С другой стороны, давая большую свободу автотрассировщику, часто невозможно удовлетворить требования производства по допустимым параметрам топологического рисунка – ширине проводников и зазоров между ними. Проблема трассировки ПП, в том числе и многослойных, значительно усложнилась с появлением интегральных микросхем в корпусах типа TSOP, MOFP и BGA c числом выводов до нескольких сотен, расположенных с очень малым шагом. В статье исследована возможность максимального использования топологического пространства ПП с этими и другими типами корпусов. Обоснована необходимость введения буферной зоны вокруг компонента для повышения эффективности процедуры автотрассировки. Показано, однако, что наличие буферной зоны не избавляет от появления в ней некоторого числа межслойных переходов, зависящего от вида трассировки. На основании предложенного критерия качества работы автотрассировщика – отношения суммарной длины проводников к числу межслойных переходов – проанализирована эффективность использования топологического пространства ПП тремя автотрассировщиками. Представленные экспериментальные результаты исследования конкурирующих вариантов трассировки САПР ПП TopoR и Specctra подтвердили возможность увеличения добавленной площади топологического рисунка печатной платы для возможного дальнейшего ее использования